Saturated configuration and new large construction of equiangular lines

核心問題：飽和不等於最大

本篇研究實等角直線配置的兩個問題：既有配置能否再加一條線，以及如何從高維配置中找出大型低維子集。若 X 在自己的張成空間內，不能再加入一條與所有舊線具有相同角度的直線，便稱 X 飽和。這只是固定配置的延伸性質，不代表它在所有配置中線數最多。本篇同時證明 18 維中的某個 54 線配置飽和，又找到另一個 56 線配置，清楚展示兩種概念的差別。

把連續幾何化成有限符號枚舉

以單位向量代表直線，兩兩內積為 ±α，實際夾角是 arccosα。從 X 選 r 個線性獨立向量組成基底矩陣 B，令 H=BᵀB。任何候選 v 都需滿足 Bᵀv=αs，其中 s 是 r 維正負一符號向量。因此 v=αBH⁻¹s，且其單位長條件是 α²sᵀH⁻¹s=1。s 與 −s 表示同一直線，固定第一個符號為正後，只剩 2ʳ⁻¹ 種模式。這裡的基底是線性代數基底。

相容圖與飽和證書

把所有通過單位長條件的候選當作圖頂點，當兩候選的內積絕對值為 α 時連邊。clique 代表可同時加入基底的直線集合，故包含該基底的最大配置有 r+ω(G) 條線。若這個值恰等於 |X|，就證明 X 飽和。反過來，若最大 clique 更大，卻不一定能保留 X 的所有原向量，因此不能立刻說 X 可延伸；仍要檢查對既有 clique 的共同鄰居。

14 維的完整計算例子

Tremain 的設計構造給 14 維中的 28 條等角直線，α=1/5。作者選取偶數編號的 14 個向量為基底，從 2¹³=8192 個模式中找到 378 個單位候選，再以 Sage 算得相容圖最大 clique 為 14。於是 14+14=28，得到飽和證書。這把原本可能考慮的 2²⁷ 種符號組合大幅縮減。數字來自原文的計算結果；本導讀沒有宣稱重跑該大型枚舉。

Witt 設計與六種飽和配置

Theorem 1 證明指定的 28 線／14 維、40 線／16 維、48 線／17 維、54 線／18 維、72 線／19 維與 90 線／20 維配置飽和。後兩者由 24 點、759 個八元區塊的 Witt 設計建構；其標準記法為 S(5,8,24)。90 線例子選 20 個基底後只有 70 個單位候選，恰好全是剩餘舊線，因此沒有任何新方向可加。再加正交條件可選出 72 線／19 維子配置。

第二種方法：切出低秩子配置

從大型等角配置 X 中選 r 個線性獨立向量 T，收集 X∩span T 的所有向量。它們自動繼承原本角度，並因包含 r 個獨立向量而恰好具有秩 r。也可以直接在 Gram 矩陣中選 r 個獨立列，收集落在其列空間中的所有列，再取對應主子矩陣。反覆隨機選擇 T 是找大型例子的實驗方法；找到一個可驗證例子就足以給存在性下界，但不提供最大值證明。

固定 α=1/7 的四個新構造

作者以已知的 344 線／43 維配置為母體，它可由 SRG(344,168,92,72) 得到。數千次試驗後，在 42 維找到 248 線；類似方法在 41、40、39 維分別找到 200、168、152 線。這些成果針對固定角度 α=1/7，不能說成不限制角度時的最大線數。例如原文本來就列出 α=1/5 的 276 線配置可置於 23–41 維空間。

上界還留下多少空間

若 rα²<1，相對界為 |X|≤r(1−α²)/(1−rα²)。它由 Gram 矩陣的跡與平方跡不等式推出；分母為正是必要前提。α=1/7 時化成 48r/(49−r)，因此 42、41、40、39 維的整數上界依序為 288、246、213、187。與新構造相比，原文的下上界區間是 [248,288]、[200,246]、[168,213]、[152,187]，仍有距離，並未求得精確最大值。

18 維的 56 線與計算瓶頸

由 72 線／19 維配置反覆選 18 個獨立向量，作者找到兩種 56 線配置，以額外法向量 u₁、u₂ 描述其子空間，並確認兩者飽和。這把當時 N(18) 的已知構造下界從 54 提高到 56。另一方面，42 維的飽和檢查需枚舉 2⁴¹，約 2.2 兆種模式，作者未完成計算。因此 248 線／42 維在本篇是新構造，不能加上已證明飽和的標籤。

貢獻、限制與原文來源

本篇展示精確線性代數、相容圖與隨機低秩搜尋如何配合：前者驗證固定配置不能延伸，後者產生更大的例子。作者據此提出若干維度最大值猜想，但飽和證據尚不足以排除所有其他配置。所有歷史紀錄與猜想狀態均依原文版本敘述。來源：Yen-Chi Roger Lin、Wei-Hsuan Yu，Saturated configuration and new large construction of equiangular lines，arXiv:1801.04502v2（2018）；Linear Algebra and its Applications 588（2020），272–281。