On the two-distance embedding in real Euclidean space of coherent configuration of type (2,2;3)

研究問題與主定理的範圍

在R^d中，二距離集合的不同點對只有兩種歐氏距離，一般上界為C(d+2,2)。Lisoněk於1997年構造八維45點達界例：9點形成正單形，36點來自Johnson圖J(9,2)的球面嵌入，兩組位於不同半徑的同心球面。本文問：具有同樣相干配置型別(2,2;3)與指定嵌入結構的例子，在其他維度是否存在？主定理1.3證明只有Lisoněk例子，且完全不預設點數最大。這不是所有八維45點二距離集合的完整分類。

45點可以用座標直接檢查

在R^9中令X₁={−e_i+(1/3)1₉}，X₂={e_i+e_j:i<j}。兩組座標和皆為2，實際仿射維度為8。X₁內平方距離為2；X₂內為4減去兩倍區塊交集大小；跨組時，點屬於二元區塊得到4，不屬於得到2。因此實際距離只有sqrt(2)與2。共同中心為c=(2/9)1₉，兩組半徑平方依序為8/9、14/9；第二組相對R^9原點的範數sqrt(2)，不能誤作相對共同中心的半徑。

相干配置與準對稱設計的橋樑

型別(2,2;3)包含點集合V與區塊集合B：點對分相同、不同兩類；區塊對分相同、交集α、交集β三類；兩個方向的點—區塊入射關係各分兩類，共九個關係。相干性要求交叉計數只依關係類別而定。這與準對稱2-(m,S,Λ)設計密切對應：m個點，每區塊S點，每對點在Λ個區塊內，區塊交集只有α>β兩種。區塊圖以交集α為鄰接，是強正則圖。

共同嵌入存在，兩距離卻非常特殊

定理1.2利用九維鄰接代數的矩陣單位組成秩m−1的正交投影，把點與區塊同時放入R^(m−1)。點部分為正單形，區塊部分為縮放的強正則圖球面嵌入，跨組距離由是否入射決定。但一般仍有1+2+2種距離型別，未必只有兩個數值。調整區塊球面半徑，使五種型別合併為兩種，才是主定理要分類的特殊情形。

幾何方程如何引出整數變數

把正單形邊長正規化為sqrt(2)，由距離重合消去區塊半徑，得到三個多項式方程p₁=p₂=p₃=0。其中p₁可整理為[x(m+1)−S(S+1)]²=4S²(S−x)，x,y依另一平方距離大於或小於2，取α,β或交換。令z=[x(m+1)−S(S+1)]/(2S)，則z為有理數且z²=S−x為整數，因此z本身為整數。進而S=x+z²，m=(x+z²+z)²/x，把問題降到主要兩個變數。

輔助方程排除無窮多參數

設計參數必須符合整數性，例如每點區塊數T=(m−1)Λ/(S−1)、區塊總數n=mT/S。作者把這些參數、圖參數與交叉數組成整數輔助式g，並在不同實數區域證明0<g<1，從而排除整個區域。第一分支y=x−z中，令t=z(z+1)/2，幾乎所有x偏離t的範圍都被排除；邊界x=t−1另外用0<g<2逼出g=1，解得非整數z。這比單純有限範圍枚舉更強。

候選族與電腦輔助部分

第二個y分支需另選輔助式，限制g只取有限整數值，再與p₃=0聯立；來源包含電腦輔助實代數排除，本導讀未獨立重跑全部分類。定理4.4最終保留的非退化候選為x=z(z+1)/2、y=z(z−1)/2、S=z(3z+1)/2、m=9z(z+1)/2；另外兩類違反區塊大小小於點數等條件。候選整數參數仍不等於真正設計存在，還需最後一層組合限制。

tight 4-design分類完成最後排除

候選族會迫使區塊數n=C(m,2)。在4≤S≤m−4時，準對稱設計因此成為tight 4-design；Enomoto–Ito–Noda的既有分類只留下4-(23,7,1)及補設計。但候選公式的m=9z(z+1)/2一定是9的倍數，不可能等於23。邊界S=3，以及S=m−1,m−2,m−3，對應二次式的判別式均非平方；唯一剩下S=2、z=1，恢復m=9、α=1、β=0與36區塊。

成果的數學意義與驗算層次

這篇工作的特色，是未假設極大點數，卻由距離方程與整數性導出達界區塊數，再接上設計分類。幾何、非交換鄰接代數、丟番圖方程與組合分類在同一證明中合作。本資源另以3倍整數座標精確枚舉45點的990個點對：平方距離18有540對、36有450對，除以9便得原構型平方距離2、4。這驗證構造，並不替代作者對所有參數的唯一性證明。

可延伸方向與來源

後續可問：保留正單形與強正則圖自然嵌入、但移除相干性時，是否有其他例子？型別(3,2;3)或三距離型別(2,2;4)能否使用類似整數輔助式？極值點數能否反過來迫使相干結構？這些是研究方向，不是本文定理。來源：Eiichi Bannai、Etsuko Bannai、Chin-Yen Lee、Ziqing Xiang、Wei-Hsuan Yu，arXiv:2211.02331v1 (2022)；期刊Discrete Mathematics 348(4),114378 (2025)。本文依預印本詳述證明。